મતભેદોની - આ શું છે? કેવી રીતે કાર્ય વિભેદક શોધવા માટે?

ડેરિવેટિવ્ઝ સાથે તેમના કાર્યો મતભેદોની - તે મૂળભૂત ખ્યાલો કેટલાક વિભેદક કલન, ના મુખ્ય વિભાગ ગાણિતિક વિશ્લેષણ. એકબીજા સાથે જોડાયેલા તરીકે, તેમને બંને કેટલીક સદીઓ વ્યાપક લગભગ તમામ સમસ્યાઓ વૈજ્ઞાનિક અને તકનિકી પ્રવૃત્તિ દરમિયાન ઊભો થયો ઉકેલવામાં વપરાય છે.

વિભેદક ખ્યાલ ઉદભવ

પ્રથમ વખત સ્પષ્ટતા કરી હતી કે આવા વિભેદક, સ્થાપક એક (Isaakom Nyutonom સાથે) વિભેદક કલન વિખ્યાત જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી Gotfrid Vilgelm Leybnits કરી હતી. પહેલાં 17 મી સદીના ગણિતશાસ્ત્રીઓ. કેટલાક સૂક્ષ્મ કોઇ જાણીતા કાર્ય "અવિભાજિત" ખૂબ અસ્પષ્ટ અને અસ્પષ્ટ વિચાર ઉપયોગ થાય છે, ખૂબ જ નાના સતત કિંમત પરંતુ શૂન્ય બરાબર નથી, જે નીચે મૂલ્યો, ફંક્શન ફક્ત ન હોઈ શકે પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તેથી તે કાર્ય દલીલો અને કાર્યો કે બાદમાં ડેરિવેટીવ્ઝ દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે તેમના લાગતાવળગતા ઇન્ક્રીમેન્ટ ની અતિસૂક્ષ્મ વૃદ્ધિના ધારણાને રજૂઆત માત્ર એક પગલું હતું. અને આ પગલું લગભગ એક સાથે ઉપર બે મહાન વૈજ્ઞાનિકો લેવામાં આવ્યો હતો.

તાત્કાલિક વ્યવહારુ મિકેનિક્સ સમસ્યાઓ વિજ્ઞાન મુકાબલો સંબોધવા જરૂરિયાત પર આધારિત ઝડપથી ઉદ્યોગ અને ટેકનોલોજી વિકાસ, ન્યૂટન અને લીબનીઝ, જે આવા ખ્યાલો દાખલ કરવા તરફ દોરી (ખાસ કરીને જાણીતા ટ્રેજેકટરીના શરીરના યાંત્રિક ઝડપ સંદર્ભે સાથે) ફેરફારના દરનો કાર્યો શોધવાની સામાન્ય માર્ગો બનાવવામાં વ્યુત્પન્ન કાર્ય અને વિભેદક, અને તે પણ જણાયું ઓળખાય સે દીઠ (ચલ) તરીકે અલ્ગોરિધમનો વ્યસ્ત સમસ્યા ઉકેલો પાથ કે અભિન્ન ખ્યાલ તરફ દોરી જાય છે શોધવા માટે બનાવવા માટે કાપવામાં ઝડપ અલ્લાઉદિન.

લીબનીઝ અને ન્યૂટન વિચાર કૃતિઓ પ્રથમ તે દેખાઇ છે કે મતભેદોની - પાયાની દલીલો ઇન્ક્રિમેન્ટ Δh વધારો Δu કાર્યો સફળતાપૂર્વક બાદમાં કિંમત ગણતરી માટે લાગુ પાડી શકાય છે પ્રમાણમાં હોય છે. જ્યારે બાકીના Δh → શૂન્ય સંભાળ રાખવાનું - અન્ય શબ્દોમાં, તેઓ શોધ કરી છે એક ઈજાફો કાર્ય કોઈપણ બિંદુ (વ્યાખ્યાના તેના ડોમેન અંદર) પર હોઈ શકે છે કે તેના ડેરિવેટિવ બંને Δu = y '(x) Δh + αΔh જ્યાં α Δh દ્વારા વ્યક્ત કરવામા આવેલ 0, વાસ્તવિક Δh કરતાં ખૂબ ઝડપથી.

ગાણિતિક વિશ્લેષણ સ્થાપકો અનુસાર, મતભેદોની - આ બરાબર કોઇ કાર્યો વૃદ્ધિના પ્રથમ શબ્દ છે. પણ સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત મર્યાદા ખ્યાલ સિક્વન્સ તર્ક સમજી છે કે વ્યુત્પન્ન ના વિભેદક કિંમત કામ કરવા જાય છે કર્યા વગર જ્યારે Δh → 0 - Δu / Δh → વાય '(એક્સ).

ન્યૂટન, જે મુખ્યત્વે ભૌતિકશાસ્ત્રી અને ગાણિતિક ઉપકરણ શારીરિક સમસ્યાઓ અભ્યાસ માટે એક સહાયક સાધન તરીકે ગણવામાં આવી હતી વિપરીત, લીબનીઝ આ Toolkit પર વધુ ધ્યાન ચૂકવણી, દ્રશ્ય અને સંપૂર્ણ પ્રતીકો ગાણિતિક કિંમતો સિસ્ટમ સમાવેશ થાય છે. તે હતો જે મતભેદોની કાર્ય નાયબ ધોરણ નોટેશનમાં સૂચિત = y '(x) ડીએક્સ, ધી ડીએક્સ, અને તેમના સંબંધ વાય કારણ કે દલીલ કાર્ય વ્યુત્પન્ન' (x) = નાયબ / ડીએક્સ.

આધુનિક વ્યાખ્યામાં બંધ

આધુનિક ગણિતશાસ્ત્રમાં દ્રષ્ટિએ વિભેદક શું છે? તે નિકટતાથી ચલ ઇન્ક્રિમેન્ટ ખ્યાલ સાથે સંબંધિત છે. ચલ વાય વાય વાય = ₁ પ્રથમ કિંમત લે _છે, તો પછી વાય = y _2, તફાવત વાય ₂ ─ વાય ₁ ઇન્ક્રિમેન્ટ કિંમત વાય કહેવાય છે. ઇન્ક્રિમેન્ટ હકારાત્મક હોઈ શકે છે. નકારાત્મક અને શૂન્ય. શબ્દ "વૃદ્ધિ" Δ, Δu નિયુક્ત કરવામાં આવે છે રેકોર્ડિંગ (ફક્ત વાંચવા 'ડેલ્ટા y') ઇન્ક્રિમેન્ટ વાય મૂલ્ય દર્શાવે છે. જેથી Δu = y ₂ ─ વાય _1.

કિંમત Δu મનસ્વી કાર્ય વાય = f (x) અને આપેલ એક્સ Δu = એક Δh + α, જ્યાં A Δh પર આધાર રાખીને નથી, ટી તરીકે રજૂ તો કરી શકાય. ઇ A = const, શબ્દ આલ્ફા જ્યારે Δh → 0 કરે છે તે ઝડપી વાસ્તવિક Δh, પછી પ્રથમ ( "માસ્ટર") એ એક શબ્દ પ્રમાણસર Δh કરતાં હોય છે, અને વાય = f (x) વિભેદક છે, સૂચિત નાયબ અથવા df (x) (ફક્ત વાંચવા "દ એકસ માંથી ઇએફએફ" "વાય દ"). તેથી મતભેદોની - વૃદ્ધિના Δh કાર્યો ઘટકો આદર સાથે એક "મુખ્ય" રેખીય.

યાંત્રિક સમજૂતી

એક સીધી રેખા ખસેડવાની અંતર - એસ = f (T) ચાલો સામગ્રી બિંદુ (- મુસાફરી સમય T) પ્રારંભિક પદ પરથી. વૃદ્ધિ Δs - એક સમય અંતરાલ Δt દરમિયાન માર્ગ બિંદુ છે, અને વિભેદક ડીએસ = f (T) Δt - આ પાથ, કે જે બિંદુ જ સમય માટે યોજાશે Δt, જો તે ઝડપ એફ જાળવી રાખ્યું '(ટી), t સમયે પહોંચી ગયા . એક અતિસૂક્ષ્મ Δt ડીએસ કાલ્પનિક પાથ વાસ્તવિક Δs infinitesimally Δt આદર સાથે ઊંચી હુકમ કર્યા અલગ પડે છે. t સમયે ઝડપ શૂન્ય બરાબર ન હોય તો, અંદાજિત કિંમત ડીએસ નાના પૂર્વગ્રહ બિંદુ આપે છે.

ભૌમિતિક અર્થઘટન

ચાલો રેખા એલ વાય = f (x) આલેખ છે. પછી Δ x = MQ, Δu = QM '(જુઓ. નીચે આકૃતિ). સ્પર્શજ્યાની MN Δu બે ભાગો, QN અને એનએમ 'કાપી તોડે છે. પ્રથમ અને Δh છે પ્રમાણસર QN = MQ TG (કોણ QMN) = Δh એફ '(x), ટી. ઈ QN નાયબ વિભેદક છે ∙.

તફાવત Δu NM'daet ─ નાયબ, જ્યારે Δh → 0 એનએમ લંબાઈ 'પણ ઝડપી દલીલ ઇન્ક્રિમેન્ટ કરતાં ઘટાડે છે, બીજા ભાગમાં એટલે કે તે હંમેશ માટે બદલી નાંખી Δh કરતાં વધારે ક્રમ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, જો એફ '(x) ≠ 0 (બિન-સમાંતર સ્પર્શજ્યાની બળદની) સેગમેન્ટમાં QM'i QN સમકક્ષ; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો એનએમ 'ઝડપથી ઘટે (તેના વધારે smallness હુકમ) કુલ ઇન્ક્રિમેન્ટ Δu = QM કરતાં'. આ આંકડો (નજીક સેગમેન્ટમાં M'k એમ NM'sostavlyaet બધા નાના ટકાવારી QM 'સેગમેન્ટમાં) પૂરાવો છે.

તેથી, ગ્રાફિકલી ફરક મનસ્વી કાર્ય સ્પર્શજ્યાની ના ઓર્ડિનેટ ના વધારા સમાન છે.

વ્યુત્પન્ન અને વિભેદક

અભિવ્યક્તિ ઇન્ક્રિમેન્ટ કાર્ય પ્રથમ શબ્દ એક પરિબળ તેનું વ્યુત્પન્ન એફ '(x) નું મૂલ્ય સમાન છે. આમ, નીચેની સંબંધ - નાયબ = f (x) Δh અથવા df (x) = f (x) Δh.

એ વાત જાણીતી છે કે સ્વતંત્ર દલીલ ઇન્ક્રિમેન્ટ તેના વિભેદક Δh = ડીએક્સ સમાન છે. તદનુસાર, અમે લખી શકો છો: એફ '(x) ડીએક્સ = નાયબ.

શોધવી (ક્યારેક "નિર્ણય" હોવાનું કહેવાય) મતભેદોની ડેરિવેટિવ્ઝ તરીકે જ નિયમો દ્વારા કરવામાં આવે છે. તેમને એક યાદી નીચે આપવામાં આવે છે.

શું વધારે સાર્વત્રિક છે: દલીલ અથવા તેના વિભેદક ના વધારા

અહીં તે કેટલાક સ્પષ્ટિકરણ બનાવવા માટે જરૂરી છે. પ્રતિનિધિત્વ મૂલ્ય એફ '(x) વિભેદક Δh શક્ય જ્યારે દલીલ તરીકે એક્સ વિચારણા. પરંતુ કાર્ય જટિલ છે, જેમાં એક્સ દલીલ ટી એક કાર્ય હોઈ શકે છે હોઈ શકે છે. પછી એફ '(x) Δh ના વિભેદક અભિવ્યક્તિ પ્રતિનિધિત્વ, એક નિયમ તરીકે, તે અશક્ય છે; રેખીય પરાધીનતા x = + b ખાતે કિસ્સામાં સિવાય.

સૂત્ર એફ તરીકે '(x) ડીએક્સ = નાયબ હોય, તો પછી એક્સ ટી ના પેરામેટ્રિક પરાધીનતા કિસ્સામાં સ્વતંત્ર દલીલ એક્સ કેસ (પછી ડીએક્સ = Δh), તે વિભેદક છે.

ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ 2 x Δh વાય = x ^{2 તેમજ} તેના વિભેદક જ્યારે એક્સ એક દલીલ છે માટે છે. હવે x = ટી ² અને અમે ટી દલીલ હોવાનું મનાય છે. પછી વાય = x ² = ટી ^4.

આ (T + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ² દ્વારા અનુસરવામાં આવે ^છે. તેથી Δh = 2tΔt + Δt ^2. આથી: 2xΔh = 2 ટી ² (2tΔt + Δt ^2).

આ અભિવ્યક્તિ Δt પ્રમાણમાં નથી, અને તેથી હવે 2xΔh ફરક નથી. તે સમીકરણ વાય = x ² = ટી ⁴ થી મળી શકે ^છે. તે સમાન નાયબ = 4T ³ Δt છે.

અમે અભિવ્યક્તિ 2xdx લેવા તો, તે વિભેદક વાય = x ² કોઈ દલીલ ટી માટે છે. ખરેખર, જ્યારે x = ટી ² મેળવવા ડીએક્સ = 2tΔt.

તેથી 2xdx = 2 ટી ² 2tΔt = 4T ³ .DELTA.t, ટી. ઈ અભિવ્યક્તિ બે અલગ અલગ ચલો દ્વારા રેકોર્ડ મતભેદોની સંબંધ ધરાવે છે.

વૃદ્ધિના મતભેદોની બદલી

જો એફ '(x) ≠ 0, પછી Δu અને નાયબ સમકક્ષ (જ્યારે Δh → 0); જો એફ '(x) = 0 (અર્થ અને = 0 નાયબ), તેઓ સમકક્ષ ન હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, વાય = x ^2, પછી Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² અને નાયબ જો = 2xΔh. જો x = 3, પછી અમે Δu = 6Δh + Δh ² અને નાયબ = 6Δh કે સમકક્ષ કારણે Δh ² → 0 છે, હોય ત્યારે x = 0 કિંમત Δu = Δh ² અને 0 નાયબ = સમકક્ષ નથી.

આ હકીકત તફાવતના સરળ માળખું સાથે મળીને (એમ. Δh આદર સાથે ઇ linearity), જેને ઘણીવાર અંદાજિત ગણતરી ઉપયોગ થાય છે ધારણા પર નાના Δh માટે Δu ≈ નાયબ. શોધો તફાવત કાર્ય સામાન્ય રીતે સરળ ઇન્ક્રિમેન્ટ ચોક્કસ કિંમત ગણતરી માટે કરતાં હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, અમે ધાર સાથે મેટાલિક સમઘન હોય x = 10.00 cm. ધાર Δh = 0.001 સે.મી.. કેવી રીતે વધારો વોલ્યુમ સમઘન વી પર લંબાઇ ગરમ પર? ^અમે V = x ² હોય છે, તેથી DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ⁰ 10 2/01 = 3 (સે.મી. ^3). વધતો ΔV સમકક્ષ વિભેદક DV, જેથી ΔV = 3 સે.મી. ^3. પૂર્ણ ગણતરી ³ ΔV = 10,01 ─ માર્ચ ¹⁰ = 3.003001 આપશે. પરંતુ પ્રથમ અવિશ્વસનીય સિવાય તમામ અંકોની પરિણામ; તેથી, તે હજુ પણ 3 સે.મી. ³ ગિરફતારી માટે જરૂરી ^છે.

દેખીતી રીતે, આ અભિગમ માત્ર જો તે ભૂલ સાથે આપ્યું કિંમત અંદાજ શક્ય છે માટે ઉપયોગી છે.

વિભેદક ફંક્શન: ઉદાહરણો

માતાનો વ્યુત્પન્ન શોધવામાં કાર્ય વાય = x ³ વિભેદક શોધવા માટે પ્રયાસ ^કરો, દો. અમને દલીલ ઇન્ક્રિમેન્ટ Δu આપે છે અને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

Δu = (Δh + X) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

અહીં, ગુણાંક A = 3x ² Δh પર આધાર રાખે છે નથી, કે જેથી પ્રથમ પદ પ્રમાણસર Δh, અન્ય સભ્ય 3xΔh Δh ² + ³ જ્યારે Δh → 0 દલીલ ઇન્ક્રિમેન્ટ કરતા ઝડપી ઘટે છે. પરિણામે, 3x ² Δh સભ્ય વાય = x ³ વિભેદક ^છે:

નાયબ = 3x ² Δh = 3x ² ડીએક્સ માં ડી (x ³⁾ = 3x ² ડીએક્સ.

જેમાં ડી (x ³⁾ / ડીએક્સ = 3x ^2.

કાર્ય વાય નાયબ હવે અમે શોધવા = 1 / ડેરિવેટિવ દ્વારા એક્સ. પછી ડી (1 / x) / ડીએક્સ = ─1 / એક્સ ^2. તેથી નાયબ = ─ Δh / એક્સ ^2.

મતભેદોની મૂળભૂત બીજગણિતીય વિધેયો નીચે આપવામાં આવે છે.

વિભેદક મદદથી અંદાજિત ગણતરીઓ

કાર્ય એફ (x) મૂલ્યાંકન કરવા માટે, અને તેનું વ્યુત્પન્ન એફ '(x) ખાતે x = એક ઘણી વાર મુશ્કેલ છે, પરંતુ એક્સ = એક નજીકમાં જ કરવા માટે સરળ નથી. પછી આશરે અભિવ્યક્તિ સહાય માટે આવે છે

F (A + Δh) ≈ એફ '(એક) Δh + F (એક).

આ એક અંદાજિત તેના વિભેદક Δh એફ '(એક) Δh મારફતે નાના વૃદ્ધિના આધારે ખાતે કાર્ય મૂલ્ય આપે છે.

તેથી, આ સૂત્ર ભાગ (x = A) અને તે જ પ્રારંભ બિંદુ અલગ અલગ શરૂઆતનો મુદ્દો તેના મૂલ્ય રકમ તરીકે લંબાઈ Δh એક ભાગ ના અંત સમયે કાર્ય માટે આશરે અભિવ્યક્તિ આપે છે. કાર્ય કિંમતો નક્કી કરવા માટે પદ્ધતિ સચોટતા નીચે ચિત્ર સમજાવે.

જોકે ઓળખાય છે અને કાર્ય x = એક + Δh કિંમત સૂત્ર મર્યાદિત વૃદ્ધિના દ્વારા આપવામાં માટે ચોક્કસ અભિવ્યક્તિ (અથવા, વૈકલ્પિક રીતે, લાગ્રાન્જ ફોર્મ્યુલા)

F (A + Δh) ≈ એફ '(ξ) Δh + F (a)

જ્યાં ચિહ્ન x = એક + ξ થી x = એક x = એક + Δh માટે અંતરાલ છે, જોકે તેની ચોક્કસ સ્થિતિ અજ્ઞાત છે. ચોક્કસ સૂત્ર આશરે ફોર્મ્યુલાના ભૂલ મૂલ્યાંકન માટે પરવાનગી આપે છે. અમે લાગ્રાન્જ સૂત્ર ξ = Δh / 2 મૂકી, જો કે તે સચોટ હોઈ અન્ત, પરંતુ એક નિયમ તરીકે, આપે છે, વિભેદક દ્રષ્ટિએ મૂળ અભિવ્યક્તિ કરતાં વધુ સારી અભિગમ છે.

વિભેદક અરજી દ્વારા મૂલ્યાંકન સૂત્રો ભૂલ

મેઝરિંગ સાધનો સિદ્ધાંત માં, અચોક્કસ, અને માપન માહિતી ભૂલને અનુરૂપ લાવવા. તેઓ મર્યાદિત દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે નિરપેક્ષ ભૂલ, સકારાત્મક, સ્પષ્ટ નિરપેક્ષ મૂલ્ય (અથવા ઓછામાં મોટા ભાગે તે બરાબર) માં ભૂલ ઓળંગી - મર્યાદા ભૂલ ટૂંકા અથવા. મર્યાદા લાદતા સંબંધિત ભૂલ આંક માપવામાં કિંમત નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં દ્વારા ભાગાકાર કરીને મેળવી કહેવામાં આવે છે.

ચાલો ચોક્કસ સૂત્ર વાય = f (x) કાર્ય vychislyaeniya વાય માટે વપરાય છે, પરંતુ x ની કિંમત માપ પરિણામ છે, અને તેથી વાય ભૂલ લાવે છે. પછી, મર્યાદિત નિરપેક્ષ ભૂલ │Δu│funktsii વાય શોધવા માટે, સૂત્ર મદદથી

│Δu│≈│dy│ = │ એફ '(x) ││Δh│,

જ્યાં │Δh│yavlyaetsya સીમાંત ભૂલ દલીલ. │Δu│ જથ્થો ઉપર ગોળાકાર હોવું જ જોઈએ, કારણ કે અચોક્કસ ગણતરી પોતે વિભેદક ગણતરી પર ઇન્ક્રિમેન્ટ રિપ્લેસમેન્ટ છે.