મેકલૌરિન અને કેટલાક કાર્યો વિઘટન

અભ્યાસ અદ્યતન ગણિત ધ્યાન રાખો કે અમને સંખ્યાબંધ રૂપાંતર અંતરાલ એક ઘાત શ્રેણીનો સરવાળો, સમય સતત અને અમર્યાદિત સંખ્યા વિવિધ કાર્ય છે હોવી જોઈએ. પ્રશ્ન ઉદભવે: દલીલ કરવી એ શક્ય છે કે એક મનસ્વી કાર્ય એફ આપવામાં (x) - એક ઘાત શ્રેણીનો સરવાળો છે? શું શરતો એફ tions f (x) ઘાત શ્રેણીનો દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે હેઠળ, છે? આ મુદ્દાને મહત્વ એ છે કે તે બદલવા માટે આશરે £ થિયોલોજિકલ f (x) ઘાત શ્રેણીનો પ્રથમ થોડા શબ્દો રકમ શક્ય છે, કે જે બહુપદી છે. બહુપદી - - આવા રિપ્લેસમેન્ટ કાર્ય તદ્દન સરળ અભિવ્યક્તિ છે, અનુકૂળ અને ચોક્કસ સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં છે ગાણિતિક વિશ્લેષણ માં, એટલે કે પૂર્ણાંકો નિરાકરણ જ્યારે ગણવા માં વિકલન સમીકરણો , વગેરે ...

તે સાબિત થયું છે કે કેટલાક એફ-II f (x) (n + 1) -th હુકમ ડેરિવેટિવ્ઝ ગણી શકાય જેમાં, ની નજીકમાં તાજેતરની સહિત (α માટે - આર; એક્સ ₀ + R) એક બિંદુ x = α ની વાજબી સૂત્ર છે:

આ સૂત્ર પ્રખ્યાત વૈજ્ઞાનિક બ્રુક ટેલર બાદ નામ આપવામાં આવ્યું છે. સંખ્યાબંધ જે અગાઉના એક પરથી ઉતરી આવ્યું છે, એક મેકલૌરિન શ્રેણી કહેવામાં આવે છે:

એક નિયમ એ છે કે તે શક્ય બનાવે છે મેકલૌરિન શ્રેણીમાં વિસ્તરણ નિર્માણ કર્યું:

1. પ્રથમ, બીજી, ત્રીજી, ... ક્રમમાં ડેરિવેટિવ્ઝ નક્કી કરો.
2. ગણતરી શું x = 0 અંતે ઉત્પાદનો છે.
3. રેકોર્ડ મેકલૌરિન શ્રેણી આ કાર્ય માટે, અને પછી રૂપાંતર અંતરાલ નક્કી કરવું.
4. (; આર આર), જ્યાં સૂત્ર મેકલૌરિન શેષ ભાગ અંતરાલ નક્કી

આર _એન (x) -> 0 n માટે -> અનંત. કોઈ અસ્તિત્વમાં હોય, તો તે કાર્ય એફ (x) મેકલૌરિન શ્રેણીનો સરવાળો બરાબર હોવું જોઈએ.

હવે વ્યક્તિગત કાર્યો માટે મેકલૌરિન શ્રેણી નક્કી કરો.

1. આમ, પ્રથમ એફ શકાય (x) = ઈ ^{એક્સ.} અલબત્ત, કે જે તેમના લક્ષણો જેથી એફ Ia ઓર્ડર વિવિધ અને એફ ^{(K) (x)} = ઈ ^{એક્સ,} જ્યાં k તમામ સમાન છે તારવવામાં આવ્યું છે કુદરતી આંકડાઓ. સબસ્ટિટ્યુટ x = 0. અમે એફ ^{(K) (0)} = ઈ ⁰ = 1, k = 1,2 મેળવવા ... આગળની, ઇ ^એક્સ સંખ્યાના આધારે તે નીચે પ્રમાણે હશે:

2. કાર્ય એફ (x) = પાપ X માટે મેકલૌરિન શ્રેણી. તરત જ સ્પષ્ટ બધા અજ્ઞાત ડેરિવેટિવ્ઝ કે એફ tions હશે, ઉપરાંત એફ ^'(x) = બરડ x = પાપ (x + એન / 2), ^{એફ' (x)} = -sin x = પાપ (x + 2 * n / ²⁾ ..., એફ ^{(K) (x)} = પાપ (x + n * K / 2), જ્યાં k કોઇ પણ હકારાત્મક પૂર્ણાંક સમાન છે. એટલે કે, સરળ ગણતરી બનાવીને, અમે તારણ કરી શકો છો કે એફ માટે શ્રેણી (x) = પાપ X આના જેવી હશે:

3. હવે ઇશાગા એફ એફ (x) = બરડ X ધ્યાનમાં દો. તે મનસ્વી હુકમ બધા ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના પ્રયાસો અજાણ્યા છે, અને ^{| એફ (K) (x)} | = | COS (x + k * N / 2) | <= 1, k = 1,2 ... ફરીથી, તે કેટલીક ગણતરીઓ કર્યા, અમે તે એફ માટે શ્રેણી (x) = બરડ X આના જેવો દેખાશે શોધો:

તેથી, અમે સૌથી મહત્વપૂર્ણ લક્ષણો કે જે મેકલૌરિન શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે યાદી છે, પરંતુ તેઓ કેટલાક કાર્યો માટે ટેલર શ્રેણી પૂરક છે. હવે અમે તેમને તેમજ યાદી પડશે. તે પણ નોંધવું જોઇએ કે ટેલર શ્રેણી અને મેકલૌરિન શ્રેણી ઊંચા ગણિતમાં નિર્ણય વર્કશોપ શ્રેણીબદ્ધ એક મહત્વપૂર્ણ ભાગ છે. તેથી, ટેલર શ્રેણી.

1. પ્રથમ એફ-II f (x) = LN (1 + X) એક શ્રેણી છે. અગાઉના ઉદાહરણો, આપણે f (x) = LN (1 + x) સંખ્યાબંધ બંધ કરી શકાય છે, મેકલૌરિન શ્રેણીના સામાન્ય ફોર્મનો ઉપયોગ કરીને માટે છે. પરંતુ આ લક્ષણ માટે મેકલૌરિન ખૂબ સરળ મેળવી શકાય છે. ભૌમિતિક શ્રેણી સંકલન, અમે એફ (x) એક નંબર મેળવવા = LN (1 + x) નમૂનાના:

2. અને બીજું, કે જે આ લેખમાં અંતિમ હશે, એફ (x) = arctg એક્સ શ્રેણી હશે. અંતરાલ સાથે જોડાયેલા X માટે [-1; 1] માન્ય વિઘટન છે:

કે બધા છે. આ લેખમાં હું વધારે ગણિતમાં સૌથી વધુ ઉપયોગમાં ટેલર શ્રેણી અને મેકલૌરિન શ્રેણી સર્વેક્ષણ છે, ખાસ કરીને આર્થિક અને ટેકનીકલ કોલેજોમાં.