લીનિયર બીજુની સમીકરણોની પદ્ધતિઓ રેખીય બીજેકિક સમીકરણોની એકરૂપ શૈલી

શાળામાં પાછા, અમને દરેકએ સમીકરણોનો અભ્યાસ કર્યો અને, કદાચ, સમીકરણોની વ્યવસ્થા. પરંતુ ઘણા લોકો જાણતા નથી કે તેમને ઉકેલવા માટે ઘણી રીતો છે. આજે આપણે બે ગણી સમાનતાઓથી બનેલી રેખીય બીજેગિક સમીકરણોની પદ્ધતિને હલ કરવા માટે તમામ પદ્ધતિઓની વિગતવાર ચર્ચા કરીશું.

ઇતિહાસ

આજ સુધી, એ વાત જાણીતી છે કે સમીકરણો ઉકેલવાની કલા અને તેમની વ્યવસ્થા પ્રાચીન બેબીલોન અને ઇજિપ્તમાં ઉદભવેલી છે. જો કે, અમારા માટે તેમના સામાન્ય સ્વરૂપે સમાનતા સમાનતા "=" ની નિશાનીના દેખાવ પછી દેખાઇ, જે 1556 માં અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી રેકોર્ડ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી. માર્ગ દ્વારા, આ નિશાની એક કારણ માટે પસંદ કરવામાં આવી હતી: તેનો અર્થ છે બે સમાંતર સમાન સેગમેન્ટ. અને એ વાત સાચી છે કે સમાનતાના શ્રેષ્ઠ ઉદાહરણની કલ્પના કરી શકાતી નથી.

અજ્ઞાત અને ડિગ્રી સંકેતોના આધુનિક આલ્ફાબેટીક હોદ્દાના સ્થાપક ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી ફ્રાન્કોઇસ વિએટ છે. જો કે, આજનાં નામોથી તેનું સ્થાન નોંધપાત્ર રીતે અલગ હતું. ઉદાહરણ તરીકે, અજાણ્યા નંબરનું ચોરસ ક્યુ (લેટિન "ક્વૅરાટ્રાસ"), અને અક્ષર સી (લેટિન "ક્યુબસ") દ્વારા ક્યુબ દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યું હતું. આ રચનાઓ હવે અસ્વસ્થતા અનુભવે છે, પરંતુ તે પછી તે રેખીય બીજેગિક સમીકરણોની પદ્ધતિઓ લખવાની સૌથી સમજી રીત હતી.

જો કે ઉકેલની તત્ત્વો પદ્ધતિમાં ગેરલાભ એ હતો કે ગણિતશાસ્ત્રીઓએ માત્ર હકારાત્મક મૂળિયાઓ જ ગણ્યા હતા. કદાચ આ હકીકત એ છે કે નકારાત્મક મૂલ્યો કોઈ વ્યવહારુ એપ્લિકેશન નથી. કોઈપણ રીતે, 16 મી સદીમાં ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ નિકોલો ટાર્ટાગ્લિઆ, ગેરોલોમ કાર્ડાનો અને રફેલ બોમ્બેલિ નકારાત્મક મૂળની વિચારણા કરવા માટે સૌ પ્રથમ હતા. આધુનિક સ્વરૂપ, ક્વાડ્રિટિક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિ (ભેદભાવ દ્વારા) માત્ર 17 મી સદીમાં ડેસકાર્ટ્સ અને ન્યૂટનના કાર્યો માટે બનાવવામાં આવી હતી.

18 મી સદીના મધ્યભાગમાં, સ્વિસ ગણિતશાસ્ત્રી ગેબ્રિયલ ક્રૅમરે રેખીય સમીકરણોની પદ્ધતિઓ સરળ બનાવવા માટેનો એક નવો માર્ગ શોધી કાઢ્યો. આ પધ્ધતિને ત્યારબાદ તેનું નામ અપાયું હતું અને આજે પણ અમે તેનો ઉપયોગ કરી રહ્યા છીએ. પરંતુ અમે થોડીવાર પછી ક્રૅમરની પદ્ધતિ વિશે વાત કરીશું, પરંતુ હમણાં માટે, અમે રેખીય સમીકરણો અને પદ્ધતિઓથી અલગથી ઉકેલ લાવવા માટેની પદ્ધતિઓ પર ચર્ચા કરીશું.

રેખીય સમીકરણો

રેખીય સમીકરણો એ ચલ (ઓ) સાથે સરળ સમીકરણો છે. તેઓ બીજગણિત તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. રેખીય સમીકરણો સામાન્ય સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખે છે: એક ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... એક _n * x _n = b. આ ફોર્મમાં તેમના પ્રતિનિધિત્વની જરૂર પડશે સિસ્ટમોના સંકલન અને વધુ મેટ્રિસિસ માટે.

લીનિયર બીજુની સમીકરણોની પદ્ધતિઓ

આ શબ્દની વ્યાખ્યા છે: તે સમીકરણોનો સંગ્રહ છે જેમાં સામાન્ય અજાણ્યા જથ્થા અને સામાન્ય ઉકેલ છે. એક નિયમ તરીકે, સ્કૂલમાં, બધું બે કે ત્રણ સમીકરણો ધરાવતી સિસ્ટમો દ્વારા હલ કરવામાં આવી હતી. પરંતુ ત્યાં ચાર અથવા વધુ ઘટકો સાથે સિસ્ટમો છે ચાલો આપણે તેમને કેવી રીતે લખવું તે પહેલા જોઈએ, જેથી ભવિષ્યમાં તે ઉકેલવા માટે અનુકૂળ રહે. પ્રથમ, રેખીય બીજેગિક સમીકરણોની સિસ્ટમો વધુ સારી દેખાશે જો બધા વેરિયેબલ અનુરૂપ અનુક્રમણિકા સાથે x તરીકે લખવામાં આવે: 1,2,3 અને તેથી વધુ. બીજે નંબરે, બધા સમીકરણોને કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં લાવવા જરૂરી છે: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b.

આ તમામ ક્રિયાઓ પછી, આપણે કહી શકીએ છીએ કે કેવી રીતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોનો ઉકેલ શોધવો. આ માટે ઘણું બધું આપણને મેટ્રીસીસની જરૂર છે.

મેટ્રિસેસ

મેટ્રિક્સ એક કોષ્ટક છે જે પંક્તિઓ અને કૉલમ્સ ધરાવે છે, અને તેના આંતરછેદ પર તેના ઘટકો છે. આ કાં તો ચોક્કસ મૂલ્યો અથવા ચલો હોઇ શકે છે. મોટે ભાગે, તત્વોને દર્શાવવા માટે, તેઓ સબસ્ક્રિપ્ટ્સ (ઉદાહરણ તરીકે, ₁₁ અથવા ₂₃ ) ની નીચે મૂકવામાં આવે છે. પ્રથમ ઇન્ડેક્સ એ પંક્તિ નંબર છે, અને બીજો કૉલમ છે. મેટ્રીસીસથી, તેમજ અન્ય કોઈપણ ગાણિતિક તત્વ પર, તમે વિવિધ કામગીરી કરી શકો છો. આમ, તમે આ કરી શકો છો:

1) સબ્ટ્રેક્ટ કરો અને સમાન કદ કોષ્ટકો ઉમેરો

2) સંખ્યા અથવા વેક્ટર દ્વારા મેટ્રિક્સ ગુણાકાર.

3) સ્થાનાંતરિત: મેટ્રિક્સની પંક્તિઓને કૉલમમાં રૂપાંતરિત કરો, અને કૉલમ - રેખાઓમાં.

4) મેટ્રિસીઝને ગુણાકાર કરો જો તેમાંથી એકની પંક્તિઓની સંખ્યા બીજાના કૉલમની સંખ્યા જેટલી છે.

અમે આ તમામ તકનીકોની વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરીશું, કારણ કે ભવિષ્યમાં તે અમારા માટે ઉપયોગી થશે. બાદબાકી અને મેટ્રિસેસનો ઉમેરો ખૂબ સરળ છે. આપણે સમાન કદના મેટ્રિસેસ લઈએ છીએ, એક ટેબલનું દરેક ઘટક અન્ય દરેક ઘટકને અનુલક્ષે છે. આ રીતે આપણે આ બે ઘટકો (સબ્ટ્રેક્ટ) ઉમેરીએ છીએ (તે મહત્વપૂર્ણ છે કે તેઓ તેમના મેટ્રિસેસમાં સમાન સ્થાનો પર ઊભા છે). કોઈ સંખ્યા અથવા વેક્ટર દ્વારા મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરતી વખતે, તમે તે નંબર (અથવા વેક્ટર) દ્વારા મેટ્રિક્સના દરેક ઘટકને ફક્ત ગુણાકાર કરો. ટ્રાન્સપોઝિશન ખૂબ રસપ્રદ પ્રક્રિયા છે. વાસ્તવિક જીવનમાં તે જોવા માટે ઘણીવાર તે ખૂબ જ રસપ્રદ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ટેબ્લેટ અથવા ફોનની દિશા બદલીને. ડેસ્કટૉપ પરના ચિહ્નો મેટ્રિક્સ છે, અને જ્યારે સ્થિતિ બદલાય છે, ત્યારે તેને ટ્રાન્સપોઝ કરવામાં આવે છે અને તે વિશાળ બને છે, પરંતુ ઊંચાઇમાં ઘટે છે.

ચાલો મેટ્રિક્સસના ગુણાકાર તરીકે આ પ્રકારની પ્રક્રિયાને વિશ્લેષણ કરીએ . તેમ છતાં તે હાથમાં નથી, તે હજુ પણ તે જાણવા માટે ઉપયોગી થશે. માત્ર એક જ કોષ્ટકની કૉલમ્સની સંખ્યા અન્ય પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી જ હોય તો જ બે મેટ્રિસિસ ગુણાકાર કરો. હવે આપણે એક મેટ્રિક્સની રેખાના તત્વો અને અન્ય સંબંધિત કોલમના તત્વો લઈએ છીએ. અમે તેમને એક પછી એક વધારીએ અને પછી તેમને ઉમેરો (એટલે કે, તત્વોનું ઉત્પાદન ₁₁ અને ₁₂ દ્વારા ₁₂ અને ₂₂ બાય છે: ₁₁ * b ₁₂ + ₁₂ * b ₂₂ ). આમ, કોષ્ટકનો એક તત્વ મેળવવામાં આવે છે, અને તે જ પદ્ધતિ વધુ ભરેલી છે.

હવે આપણે વિચારવું શરૂ કરી શકીએ કે રેખીય સમીકરણોની પદ્ધતિ કેવી રીતે ઉકેલી શકાય છે.

ગાસ પદ્ધતિ

આ વિષય શાળામાં થવાનું શરૂ થાય છે. અમે "બે રેખીય સમીકરણોની પદ્ધતિ" નું ખ્યાલ જાણીએ છીએ અને તેમને ઉકેલ લાવી શકીએ છીએ. પરંતુ સમીકરણોની સંખ્યા બે કરતા વધારે હોય તો શું? ગૌસ પદ્ધતિ અમને આમાં મદદ કરશે .

અલબત્ત, જો આપણે સિસ્ટમમાંથી મેટ્રિક્સ બનાવીએ તો આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે અનુકૂળ છે. પરંતુ તમે તેને પરિવર્તિત કરી શકતા નથી અને તેના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં તેને હલ કરી શકતા નથી.

તો કેવી રીતે રેખીય ગાસ સમીકરણોની પદ્ધતિ આ પદ્ધતિનો ઉકેલ લાવે છે? જો કે, આ પદ્ધતિ તેના નામ પરથી છે, પરંતુ પ્રાચીન સમયમાં તે શોધવામાં આવી હતી. ગૌસ નીચે સૂચવે છે: સમીકરણો સાથે કામગીરી કરવા માટે, છેવટે એકંદરે એક પગલું જેવા ફોર્મ તરફ દોરી જાય છે. એટલે કે, તે જરૂરી છે કે ઉપરથી નીચેથી (જો યોગ્ય રીતે ગોઠવાયેલા) પ્રથમ સમીકરણથી છેલ્લા એક સુધી એક અજ્ઞાત દ્વારા ઘટશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે તેને બનાવવાની જરૂર છે કે જેથી આપણે ત્રણ સમીકરણો મેળવીએ: પ્રથમ - ત્રણ અજાણ્યા, બીજામાં - બે, ત્રીજા ભાગમાં - એક. પછી છેલ્લા સમીકરણથી આપણે પ્રથમ અજાણ્યા, બીજા અથવા પહેલા સમીકરણમાં તેના મૂલ્યને બદલે, પછી બાકીના બે ચલો શોધી શકીએ છીએ.

ક્રૅમરની પદ્ધતિ

આ પધ્ધતિને માસ્ટર કરવા, વધુમાં કુશળતા ધરાવે છે, મેટ્રીસીસનું બાદબાકી, અને નિર્ણાયક શોધવા સક્ષમ થવા માટે તે ખૂબ જરૂરી છે. તેથી, જો તમે તે ખરાબ રીતે કરો છો અથવા તમને ખબર નથી, તો તમારે કેવી રીતે શીખવું અને પ્રેક્ટિસ કરવું પડશે.

આ પધ્ધતિનો સાર શું છે, અને તે કેવી રીતે બનાવવા તે રેખીય ક્રૅમર સમીકરણોની પદ્ધતિ પ્રાપ્ત થાય છે? તે ખૂબ જ સરળ છે. આપણે રેખીય બીજેગિક સમીકરણોની સિસ્ટમના સંખ્યાત્મક (લગભગ હંમેશા) સહગુણાંકોનું મેટ્રિક્સ બનાવવું જોઈએ. આવું કરવા માટે, ફક્ત અજાણ્યાઓની સામે સંખ્યાઓ લો અને તે કોષ્ટકમાં તેમને ક્રમમાં ગોઠવે છે કે તેઓ સિસ્ટમમાં લખાય છે. જો નંબરની આગળ કોઈ "-" સાઇન હોય તો નકારાત્મક ગુણાંક લખો. તેથી, અમે અજાણ્યા માટેના ગુણાંકના પ્રથમ મેટ્રીક્સને સંકલિત કર્યા છે, સમાન ચિહ્નો પછીની સંખ્યાઓ સહિત નહીં (તે કુદરતી છે કે સમીકરણ કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં ઘટાડવું જોઈએ, જ્યારે જમણા બાજુની બાજુમાં ફક્ત સંખ્યા અને સહગુણાંકો સાથે ડાબી બાજુ બધા અજાણ્યા). પછી આપણે ઘણા બધા મેટ્રિસિસ બનાવવાની જરૂર છે, એક દરેક વેરીએબલ માટે આવું કરવા માટે, પ્રથમ મેટ્રિક્સને બદલામાં બદલો, સમાન સ્તંભ પછી સંખ્યાઓના સ્તંભના સહગુણાંકો સાથે દરેક કૉલમ. આમ આપણે ઘણા મેટ્રીસીસ મેળવીએ છીએ અને પછી તેમના નિર્ણાયક શોધી કાઢીએ છીએ.

અમે નિર્ણાયક મળી પછી, તે થોડી વાત છે અમારી પાસે એક પ્રારંભિક મેટ્રિક્સ છે, અને કેટલાક મેટ્રિક્સ મેળવવામાં આવ્યા છે જે વિવિધ ચલોને અનુરૂપ છે. સિસ્ટમ ઉકેલો મેળવવા માટે, અમે પ્રારંભિક કોષ્ટકના નિર્ણાયકમાં મેળવી કોષ્ટકના નિર્ણાયકને વિભાજિત કરીએ છીએ. પરિણામી સંખ્યા એ એક ચલોની કિંમત છે. એ જ રીતે, આપણે બધા અજાણ્યા છીએ.

અન્ય પદ્ધતિઓ

રેખીય સમીકરણોની પધ્ધતિનો ઉકેલ મેળવવા માટે ઘણી અન્ય પદ્ધતિઓ છે. ઉદાહરણ તરીકે, કહેવાતા ગૌસ-જોર્ડન પદ્ધતિ, કે જે વર્ગાત્મક સમીકરણોની પધ્ધતિના ઉકેલો શોધવા માટે વપરાય છે, તે પણ મેટ્રિસિસના ઉપયોગથી સંબંધિત છે. લીનિયર બીજગણિત સમીકરણોની પદ્ધતિને હલ કરવા માટે જેકોબી પદ્ધતિ પણ છે. તે કમ્પ્યુટર માટે સૌથી સ્વીકાર્ય છે અને તેનો ઉપયોગ કમ્પ્યુટર ટેકનોલોજીમાં થાય છે.

કોમ્પ્લેક્ષ કેસો

સામાન્ય રીતે જટિલતા ઊભી થાય છે જો સમીકરણોની સંખ્યા ચલોની સંખ્યા કરતાં ઓછી હોય. પછી અમે ચોક્કસપણે કહી શકીએ કે ક્યાં તો સિસ્ટમ અસંગત છે (એટલે કે તેની કોઈ મૂળ નથી) અથવા તેના ઉકેલોની સંખ્યા અનંતતા તરફ જાય છે. જો આપણી પાસે બીજો કેસ છે, તો આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલને લખવાની જરૂર છે. તેમાં ઓછામાં ઓછા એક ચલ હશે.

નિષ્કર્ષ

તેથી અમે અંત આવ્યો ચાલો સરવાળો કરીએ: આપણે એક વિશ્લેષણ કર્યું છે કે સિસ્ટમ અને મેટ્રીક્સ શું છે, અને આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલને કેવી રીતે શોધવું તે શીખ્યા. વધુમાં, અમે અન્ય વિકલ્પો ગણવામાં આવ્યા છે. લીનિયર સમીકરણોની પધ્ધતિ કેવી રીતે ઉકેલી શકાય છે તે અમને જાણવા મળ્યું: ગૌસ પદ્ધતિ અને ક્રૅર પદ્ધતિ. અમે જટિલ કેસો અને સોલ્યુશન્સ શોધવાના અન્ય રસ્તાઓ વિશે વાત કરી.

હકીકતમાં, આ વિષય વધુ વ્યાપક છે, અને જો તમે તેને વધુ સારી રીતે સમજી શકો, તો અમે વધુ વિશિષ્ટ સાહિત્ય વાંચવા ભલામણ કરીએ છીએ.