ભૌમિતિક પ્રગતિ. નિર્ણય ઉદાહરણ

એક પંક્તિ વિચાર કરો.

7 28 112 448 1792 ...

તદ્દન સ્પષ્ટ બતાવે છે કે અગાઉના બરાબર ચાર વખત કરતાં વધુ તેના તત્વો કોઇ મૂલ્ય. તેથી, આ શ્રેણી પ્રગતિ છે.

ભૌમિતિક પ્રગતિ સંખ્યાની અનંત ક્રમ કહેવાય છે, જે મુખ્ય લક્ષણ છે કે જે નીચેના નંબર કેટલાક ચોક્કસ નંબર દ્વારા ગુણાકાર કરીને ઉપરથી મેળવવામાં આવે છે. આ નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

_{એક z +1 z · Q =} , જ્યાં Z - પસંદ કરેલ તત્વ સંખ્યા.

તદનુસાર, Z ∈ એન

એક સમય હતો જ્યારે શાળા ભૌમિતિક પ્રગતિ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે - 9 ગ્રેડ. ઉદાહરણો મદદ કરશે ખ્યાલ સમજવા:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 6 2 ...

આ સૂત્ર પર આધાર રાખીને, નીચે પ્રમાણે છેદ ની પ્રગતિ મળી શકે છે:

બેમાંથી ક્યૂ, અથવા ખ _z શૂન્ય હોઈ શકતું નથી. ઉપરાંત, તત્વો દરેક ક્રમાંકની શ્રેણી પ્રગતિ શૂન્ય ન હોવી જોઈએ.

તદનુસાર, સંખ્યાબંધ આગામી નંબર જોવા માટે, ક્યૂ દ્વારા બાદમાં ગુણાકાર કરો.

આ પ્રગતિ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તમે તેને અને છેદ પ્રથમ તત્વ ઉલ્લેખ કરવો પડશે. તે પછી તેને અનુસરી સભ્યો અને તેમના રકમ કોઇ શોધવા માટે શક્ય છે.

પ્રજાતિઓ

ક્યૂ અને _{1 આધારે,} આ પ્રગતિ વિવિધ પ્રકારના વિભાજિત થયેલ છે:

• જો _1, ક્યૂ એક કરતાં વધારે, પછી ક્રમ છે - એક ભૌમિતિક પ્રગતિ દરેક ક્રમિક તત્વ સાથે વધી જાય છે. ઉદાહરણો તેના નીચે દર્શાવેલી માહિતી આવે છે.

ઉદાહરણ: ₁ = 3, ક્યૂ = 2 - એકતા કરતાં વધારે છે, બંને પેરામીટર્સ.

પછી ક્રમાંકોની શ્રેણી તરીકે લખી શકાય છે:

3 6 12 24 48 ...

• જો | પ્ર | એક, એટલે કરતાં ઓછી છે, તે ડિવિઝન દ્વારા ગુણાકાર સમકક્ષ છે, સમાન શરતો સાથે પ્રગતિ - ભૌમિતિક પ્રગતિ ઘટે છે. ઉદાહરણો તેના નીચે દર્શાવેલી માહિતી આવે છે.

ઉદાહરણ: ₁ = 6, ક્યૂ = 1/3 - ₁ એક કરતાં વધારે હોય છે, ક્યૂ - ઓછા.

પછી ક્રમાંકોની શ્રેણી નીચે પ્રમાણે લખી શકાય:

2 જૂન 2/3 ... - તેમાં નીચેનાં કોઇપણ તત્વ વધુ તત્વો, 3 વખત છે.

• વૈકલ્પિક. જો Q <0, ક્રમ વૈકલ્પિક સંખ્યામાં સતત ₁ અનુલક્ષીને _{ચિહ્નો,} અને કોઈ પણ વધારો કે ઘટાડો ઓફ તત્વો છે.

ઉદાહરણ: ₁ = -3, ક્યૂ = -2 - શૂન્ય કરતાં ઓછી બંને છે.

પછી ક્રમાંકોની શ્રેણી તરીકે લખી શકાય છે:

3, 6, -12, 24, ...

સૂત્ર

અનુકૂળ ઉપયોગ માટે, ત્યાં સૂત્રો ઘણા ભૌમિતિક પ્રગતિ છે:

• ફોર્મ્યુલા ઝેડ મી શબ્દ. તે અગાઉના નંબરો ગણતરી વગર ચોક્કસ નંબર તત્વ ગણતરી માટે પરવાનગી આપે છે.

ઉદાહરણ: Q = 3 એક = ₁ 4. ચોથા તત્વ પ્રગતિ ગણતરી કરવા જરૂરી છે.

ઉકેલ: એક = ₄ 4 3 · ^4-1 · ³ = 4 3 = 4 · 27 = 108.

• પ્રથમ તત્વો રકમ, જેની નંબર સમાન છે z. તે _z વ્યાપક એક ક્રમ તમામ તત્વો રકમ ગણતરી માટે પરવાનગી આપે છે.

≠ 0, આમ, ક્યૂ નથી 1 - (ક્યુ 1) થી (1- ક્યૂ), પછી છેદ છે.

નોંધ: જો ક્યૂ = 1, પછી પ્રગતિ અવિરત નંબર પુનરાવર્તન સંખ્યાબંધ રજૂ હોત.

રકમ માત્રા ઉદાહરણો: ₁ = 2, ક્યૂ = -2. એસ _{5 ગણતરી.}

ઉકેલ: S ₅ = 22 - ગણતરી સૂત્ર.

• રકમ જો | ક્યૂ | <1 અને ઝેડ અનંત કરે છે ત્યારે.

ઉદાહરણ: ₁ = _2, ક્યૂ = 0.5. રકમ શોધો.

ઉકેલ: S _z = 2 x = 4

અમે જાતે ના અનેક સભ્યોને રકમ ગણતરી, તો તમે તે ખરેખર ચાર કરવા માટે પ્રતિબદ્ધ છે જોશો.

એસ _z = + 1 + 0.5 + 2 0.25 + 0,125 + 0.0625 = 3.9375 4

કેટલાક ગુણધર્મો:

• એક લાક્ષણિકતા મિલકત. જો નીચેનાં શરત તે માને છે કોઇ z માટે, પછી સંખ્યાત્મક શ્રેણી આપવામાં - એક ભૌમિતિક પ્રગતિ:

એક _ઝેડ ² = _{ઝેડ -1} · _{ઝેડ + 1}

• તે કોઇ પણ નંબર ચોરસ આપેલ કોઈપણ સળંગ બીજા બે નંબરો વર્ગોના વધુમાં માધ્યમ દ્વારા ઝડપી છે, જો તેઓ તત્વ સમાન અંતરે છે પણ છે.

² _z = એક _{Z - ટી} ² ₊ એક _Z + _T ² જ્યાં ટી - આ નંબરો વચ્ચે અંતર.

• તત્વો ક્યૂ ગણો અલગ પડે છે.
• પ્રગતિ ના તત્વોની લઘુગુણક તેમજ એક નિશ્ચિત સંખ્યા દ્વારા તેમને પાછલા એક કરતાં વધુ દરેક છે, એટલે કે પ્રગતિ છે, પરંતુ અંકગણિત રચે છે.

કેટલાક શાસ્ત્રીય સમસ્યાઓ ઉદાહરણો

વધુ સારી રીતે સમજવા શું ભૌમિતિક પ્રગતિ, ગ્રેડ 9 માટે નિર્ણય ઉદાહરણો સાથે મદદ કરી શકો છો.

• નિયમો અને શરતો: ₁ = 3, ₃ = 48 શોધવા q.

ઉકેલ: અગાઉની ક્યૂ કરતાં વધુ દરેક ક્રમિક તત્વ સમય. તે છેદ મારફતે અન્ય મારફતે કેટલાક તત્વો વ્યક્ત કરવા માટે જરૂરી છે.

પરિણામે, ₃ = q ² · ₁

જ્યારે અવેજીમાં q = 4

• શરતો: ₂ = 6, એક = ₃ 12. ગણતરી એસ _6.

ઉકેલ: આ કરવા માટે, તે સૂત્ર કે ક્યુ પ્રથમ તત્વ અને અવેજી શોધવા માટે પૂરતા.

₃ = q · _{2 પરિણામે,} ક્યૂ = 2

₂ = q · એક _1, જેથી એક = ₁ 3

એસ = ₆ 189

• · એક ₁ = 10, ક્યૂ = -2. પ્રગતિ ચોથા તત્વ શોધો.

ઉકેલ: તે પ્રથમ દ્વારા અને છેદ દ્વારા ચોથા તત્વ વ્યક્ત કરવા માટે પર્યાપ્ત છે.

₄ ³ = q · એક = ₁ -80

અરજી ઉદાહરણ:

• બેન્ક ક્લાઈન્ટ 10,000 રુબેલ્સને રકમ છે, કે જે હેઠળ દર વર્ષે મુખ્ય રકમ ક્લાઈન્ટ છતાં તે 6% ઉમેરવામાં આવશે ફાળો આપ્યો છે. મની કેટલી 4 વર્ષ પછી એકાઉન્ટ છે?

ઉકેલ: 10 હજાર રુબેલ્સને બરાબર પ્રારંભિક રકમ. તેથી, એક વર્ષ એકાઉન્ટમાં રોકાણ બાદ રકમ 10000 + 10000 = 10000 · 0.06 · 1.06 માટે સમાન હશે

તદનુસાર, ખાતામાં રકમ બાદ પણ એક વર્ષ તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવશે નીચે પ્રમાણે છે:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0.06 + 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

એટલે કે, દર વર્ષે રકમ 1.06 ગણી વધી છે. તેથી, 4 વર્ષ પછી એકાઉન્ટ નંબર શોધવા માટે, તે ચોથા તત્વ પ્રગતિ છે, કે જે 10 હજાર પ્રથમ સમાન તત્વ આપવામાં આવે છે, અને છેદ 1.06 બરાબર શોધવા માટે પૂરતા.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

સરવાળાનો ગણતરી સમસ્યાઓ ઉદાહરણો:

વિવિધ સમસ્યાઓ ભૌમિતિક પ્રગતિ ઉપયોગ કરે છે. રકમ શોધવાની ઉદાહરણ નીચે મુજબ તરીકે સેટ કરી શકાય છે:

₁ = 4, ક્યૂ = 2, એસ _{5 ગણતરી.}

ઉકેલ: ગણતરી માટે બધા જરૂરી માહિતી ઓળખાય છે, અને સરળતાથી તેમને સૂત્ર કે અવેજી.

એસ ₅ = 124

• ₂ = 6, એક = ₃ 18 ગણતરી પ્રથમ છ તત્વો રકમ.

ઉકેલ:

જીયોમ. અગાઉના ક્યૂ વખત કરતાં આગામી મોટા દરેક તત્વ પ્રગતિ, એટલે કે સંખ્યાની ગણતરી માટે તમે તત્વ ₁ અને છેદ ક્યૂ જાણવાની જરૂર છે.

₂ · Q = ₃

Q = 3

તે જ રીતે, _{1, 2} અને જાણવાનું ક્યૂ શોધવા માટે જરૂર નથી.

₁ · Q = ₂

₁ = 2

અને પછી તેને સૂત્ર રકમ કે ઓળખાય માહિતી અવેજી પૂરતા.

એસ ₆ = 728.